在豫西北教研聯(lián)盟2026-2027學(xué)年高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)中，第19題是一道集多知識(shí)點(diǎn)于一體的綜合性強(qiáng)、難度逐層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)題目。該題涵蓋了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)以及幾何等多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，具備以下顯著特點(diǎn)：

1. 知識(shí)點(diǎn)融合度高

- 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合：在第一部分中，考生需要求解導(dǎo)數(shù)以找到極值點(diǎn)，這涉及到函數(shù)的零點(diǎn)和極值點(diǎn)之間的關(guān)系。

- 坐標(biāo)幾何的應(yīng)用：第二部分要求在坐標(biāo)系內(nèi)探討矩形的存在性，涉及向量和點(diǎn)積或?qū)蔷€性質(zhì)的應(yīng)用。

- 新定義與唯一性的應(yīng)用：第三部分引入了“內(nèi)接四邊形”這一新概念，并要求找出唯一的內(nèi)接正方形，這需要結(jié)合參數(shù)討論和對(duì)稱性來(lái)解決問(wèn)題。

2. 難度梯度合理

- 第一問(wèn)為基礎(chǔ)題，通過(guò)求導(dǎo)和解方程即可解決，主要考查學(xué)生對(duì)于基本數(shù)學(xué)概念的理解。

- 第二問(wèn)為中等難度題目，要求考生具備幾何直覺(jué)和代數(shù)推導(dǎo)能力，對(duì)矩形性質(zhì)及函數(shù)圖像的綜合運(yùn)用是判斷存在性的關(guān)鍵。

- 第三問(wèn)的難度較高，需要理解新定義，利用函數(shù)的對(duì)稱性和參數(shù)討論來(lái)解決問(wèn)題，同時(shí)計(jì)算面積時(shí)需要巧妙化簡(jiǎn)。

3. 創(chuàng)新性與思維深度

- 新概念的引入：第三問(wèn)中的“內(nèi)接四邊形”定義要求考生在新的情境中抽象問(wèn)題并尋找解決方案。

- 唯一性條件的應(yīng)用：在第三問(wèn)中，參數(shù)a的確定需要通過(guò)唯一性條件來(lái)實(shí)現(xiàn)，這涉及到二次方程根的分情況討論，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

- 對(duì)稱性的運(yùn)用：函數(shù)h(x) = x^3 + ax的奇偶性被用于簡(jiǎn)化內(nèi)接正方形的問(wèn)題，減少了計(jì)算量。

4. 計(jì)算與推理并重

- 代數(shù)計(jì)算：包括求導(dǎo)、解方程、距離計(jì)算等基礎(chǔ)代數(shù)操作。

- 幾何推理：如矩形的存活性證明和正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系的推導(dǎo)。

- 參數(shù)處理：第一問(wèn)和第三問(wèn)都涉及到參數(shù)a，需要根據(jù)給定條件來(lái)確定其具體值。

5. 答案概述

- 第一問(wèn)的答案為：a = 0 或 a = -2/3。

- 第二問(wèn)的答案是：不存在這樣的點(diǎn)R。

- 第三問(wèn)的答案是：當(dāng)a = -2√2時(shí)，存在唯一的內(nèi)接正方形，其面積為6√2。

本題目全面評(píng)估了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)了知識(shí)的綜合運(yùn)用、邏輯推理以及創(chuàng)新能力，是一例典型的綜合性試題。

(責(zé)任編輯：佚名)